Question

如图，三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，CC₁⊥ABC，AC=3，BC=4，AB=5，点D是AB的中点，
（I）求证：AC⊥BC₁；
（II）求证：AC₁∥面CDB₁．

Answer

（I）利用三垂线定理证明AC⊥BC，且BC1在平面ABC内的射影为BC，即可证明AC⊥BC1；
（II）设CB1与C1B的交点为E，连接DE，证明DE∥AC1，然后证明AC1∥平面CDB1．
证明：（ I）直三棱柱ABC-A1B1C1，底面三边长AC=3，BC=4，AB=5，
∴AC⊥BC，且BC1在平面ABC内的射影为BC，∴AC⊥BC1；…（6分）
（ II）设CB1与C1B的交点为E，连接DE，
∵D是AB的中点，E是BC1的中点，∴DE∥AC1，
∵DE⊂平面CDB1，AC1⊄平面CDB1，∴AC1∥平面CDB1；…（6分）