Question

已知函数f（x）和g（x）的图象关于原点对称，且f（x）=x²+2x．
（Ⅰ）求函数g（x）的解析式；
（Ⅱ）如果对∀x∈R，不等式g（x）+c≤f（x）-|x-1|恒成立，求实数c的取值范围．

Answer

（Ⅰ）函数f（x）和g（x）的图象关于原点对称，∴g（x）=-f（-x）
（Ⅱ）问题可转换为c≤2x2-|x-1|恒成立，只需c小于等于2x2-|x-1|最小值．
解（I）∵函数f（x）和g（x）的图象关于原点对称，∴g（x）=-f（-x）=-（x2-2x），故g（x）=-x2+2x．
（II）由g（x）+c≤f（x）-|x-1|可得：c≤2x2-|x-1|，
令，
当x≥1时，F（x）min=2；
当x＜1时，，因此，实数c的取值范围为．