Question

已知f（x）=2ln（x+a）-x²-x在x=0处取得极值．
（Ⅰ）求实数a的值；
（Ⅱ）若关于x的方程f（x）+b=0在区间[-1，1]上恰有两个不同的实数根，求实数b的取值范围．

Answer

（Ⅰ）利用函数在在x=0处取得极值，得到f'（0）=0，可求a．
（Ⅱ）构造函数g（x）=f（x）+b=2ln（x+2）-x2-x+b，利用导数研究函数的最大值和最小值．
【解析】
（Ⅰ），当x=0时，f（x）取得极值，
∴f'（x）=0，解得a=2，检验a=2符合题意．
（Ⅱ）令g（x）=f（x）+b=2ln（x+2）-x2-x+b，则 ，
当x∈（-2，0）时，g'（x）＞0，∴g（x）在（-2，0）上单调递增；
当x∈（0，+∞）时，g'（x）＜0，∴g（x）在（0，+∞）上单调递减，
要使f（x）+b=0在区间[-1，1]上恰有两个不同的实数根，
只需，
∴-2ln2＜b≤2-2ln3．