Question

如图，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AB=BC=2AA₁，∠ABC=90°，D是BC的中点．
（Ⅰ）求证：A₁B∥平面ADC₁；
（Ⅱ）求二面角C₁-AD-C的余弦值；
（Ⅲ）试问线段A₁B₁上是否存在点E，使AE与DC₁成60°角？若存在，确定E点位置，若不存在，说明理由．

Answer

（Ⅰ）证明线面平行，可以利用线面平行的判定定理，只要证明 A1B∥OD即可；
（Ⅱ）可判断BA，BC，BB1两两垂直，建立空间直角坐标系，用坐标表示点与向量，求得平面ADC1的法向量、平面ADC的法向量，利用向量数量积可求二面角C1-AD-C的余弦值；
（Ⅲ）假设存在满足条件的点E，根据AE与DC1成60°角，利用向量的数量积，可得结论．
（Ⅰ）证明：连接A1C，交AC1于点O，连接OD．
由ABC-A1B1C1是直三棱柱，得四边形ACC1A1为矩形，O为A1C的中点．
又D为BC中点，所以OD为△A1BC中位线，
所以 A1B∥OD，
因为 OD⊂平面ADC1，A1B⊄平面ADC1，
所以 A1B∥平面ADC1．…（4分）
（Ⅱ）【解析】
由ABC-A1B1C1是直三棱柱，且∠ABC=90°，
故BA，BC，BB1两两垂直．
如图建立空间直角坐标系B-xyz．设BA=2，则B（0，0，0），C（2，0，0），A（0，2，0），C1（2，0，1），D（1，0，0）．
所以 ，
设平面ADC1的法向量为=（x，y，z），则有
所以 取y=1，得=（2，1，-2）．
平面ADC的法向量为=（0，0，1）．
由二面角C1-AD-C是锐角，得 ．…（8分）
所以二面角C1-AD-C的余弦值为．
（Ⅲ）【解析】
假设存在满足条件的点E．
因为E在线段A1B1上，A1（0，2，1），B1（0，0，1），故可设E（0，λ，1），其中0≤λ≤2．
所以 ，．
因为AE与DC1成60°角，所以．
即，解得λ=1，舍去λ=3．
所以当点E为线段A1B1中点时，AE与DC1成60°角．…（12分）