Question

已知定义域为R的函数是奇函数．
（1）求a的值；
（2）若对任意的t∈R，不等式f（t²-2t）+f（2t²-k）＜0恒成立，求实数k的取值范围．

Answer

（1）由奇函数的定义得f（1）=-f（-1），代入解析式求出a的值；
（2）根据奇函数的定义将不等式化为：f（t2-2t）＜f（-2t2+k），再分离函数解析式，利用指数函数的复合函数的单调性判断出此函数的单调性，再列出关于x的不等式，由题意转化为：3t2-2t-k＞0恒成立，利用二次函数的性质列出等价不等式求解．
【解析】
（1）由f（x）是奇函数得，f（1）=-f（-1），
即=-，解得a=2，
（2）∵f（t2-2t）+f（2t2-k）＜0，
∴f（t2-2t）＜-f（2t2-k），
∵f（x）为奇函数，
∴f（t2-2t）＜f（-2t2+k）
由（1）得，
 ，
∴f（x）在定义域内为单调递减函数，
∴t2-2t＞-2t2+k，即3t2-2t-k＞0恒成立，
∴△=4+12k＜0，解得，
故k的取值范围是．