Question

已知函数．
（1）若对于任意的x∈R，f（x）＞0恒成立，求实数k的取值范围；
（2）若f（x）的最小值为-2，求实数k的值；
（3）若对任意的x₁，x₂，x₃∈R，均存在以f（x₁），f（x₂），f（x₃）为三边长的三角形，求实数k的取值范围．

Answer

（1）问题等价于4x+k•2x+1＞0恒成立，分离出参数k后转化为求函数的最值问题即可；
（2），令，则，分k＞1，k=1，k＜1三种情况进行讨论求出f（x）的最小值，令其为-2即可解得k值；
（3）由题意，f（x1）+f（x2）＞f（x3）对任意x1，x2，x3∈R恒成立．当k=1时易判断；当k＞1，k＜1时转化为函数的最值问题解决即可，借助（2）问结论易求函数的最值；
【解析】
（1）因为4x+2x+1＞0，所以f（x）＞0恒成立，等价于4x+k•2x+1＞0恒成立，即k＞-2x-2-x恒成立，
因为-2x-2-x=-（2x+2-x）≤-2，当且仅当2x=2-x即x=0时取等号，
所以k＞-2；
（2），
令，则，
当k＞1时，无最小值，舍去；
当k=1时，y=1最小值不是-2，舍去；
当k＜1时，，最小值为，
综上所述，k=-8．
（3）由题意，f（x1）+f（x2）＞f（x3）对任意x1，x2，x3∈R恒成立．
当k＞1时，因且，
故，即1＜k≤4；
当k=1时，f（x1）=f（x2）=f（x3）=1，满足条件；
当k＜1时，且，故，解得；
综上所述，