Question

已知公差为d（d＞1）的等差数列{a_n}和公比为q（q＞1）的等比数列{b_n}，满足集合{a₃，a₄，a₅}∪{b₃，b₄，b₅}={1，2，3，4，5}
（1）求通项a_n，b_n；
（2）求数列{a_nb_n}的前n项和S_n；
（3）若恰有4个正整数n使不等式成立，求正整数p的值．

Answer

（1）先根据1，2，3，4，5这5个数中成公差大于1的等差数列的三个数和成公比大于1的等比数列的三个数，进而根据{a3，a4，a5}∪{b3，b4，b5}={1，2，3，4，5}，求得a3，a4，a5，b3，b4，b5，进而求得等差数列的首项与公差和等比数列的首项与公比，则an，bn可求得．
（2）根据（1）中的an，bn可求得anbn，进而用错位相减法求得数列的前n项的和．
（3）不等式等价于，进而整理得，先看当n≥3时，根据
求得n的范围，进而判断出当n≥4时，{cn}单调递增，即单调递减进而看n=3，4，5，6时，求得ρ的范围，推断出恰有4个正整数n使不等式成立的正整数p值为3
【解析】
（1）∵1，2，3，4，5这5个数中成公差大于1的等差数列的三个数只能是1，3，5；
成公比大于1的等比数列的三个数只能是1，2，4
而{a3，a4，a5}∪{b3，b4，b5}={1，2，3，4，5}，
∴a3=1，a4=3，a5=5，b3=1，b4=2，b5=4
∴，
∴an=a1+（n-1）d=2n-5，bn=b1×qn-1=2n-3

（2）∵anbn=（2n-5）×2n-3
∴Sn=（-3）×2-2+（-1）×2-1+1×2++（2n-5）×2n-3

两式相减得-Sn=（-3）×2-2+2×2-1+2×2++2×2n-3-（2n-5）×2n-2
=
∴

（3）不等式等价于
即，
∵p＞0，∴n=1，2显然成立
当n≥3时，有，
即
设，由，得n＞3.5
∴当n≥4时，{cn}单调递增，
即单调递减
而当n=3时，；
当n=4时，；
当n=5时，；
当n=6时，；
∴恰有4个正整数n使不等式成立的正整数p值为3