Question

已知函数f（x）=a•2^|x|+1（a≠0），定义函数给出下列命题：
①F（x）=|f（x）|； 
②函数F（x）是奇函数；
③当a＜0时，若mn＜0，m+n＞0，总有F（m）+F（n）＜0成立，
其中所有正确命题的序号是（ ）
A．②
B．①③
C．②③
D．①②

Answer

由题意得，F（x）=，再写出|f（x）|的表达式，它和F（x）并不是同一个函数，故①错误；利用函数奇偶性的定义可证得当x＞0或x＜0时，F（-x）=-F（x）；故函数F（x）是奇函数，②正确；当a＜0时，F（x）在（0，+∞）上是减函数，利用函数的单调性可得③正确．
【解析】
由题意得，F（x）=，
而|f（x）|=，它和F（x）并不是同一个函数，故①错误；
∵函数f（x）=a•2|x|+1是偶函数，
当x＞0时，-x＜0，则F（-x）=-f（-x）=-f（x）=-F（x）；
当x＜0时，-x＞0，则F（-x）=f（-x）=f（x）=-F（x）；
故函数F（x）是奇函数，②正确；
当a＜0时，F（x）在（0，+∞）上是减函数，
若mn＜0，m+n＞0，总有m＞-n＞0，
∴F（m）＜F（-n），即f（m）＜-F（n），
∴F（m）+F（n）＜0成立，故③正确．
故选C．