Question

已知函数f（x）=e^x，A（a，0）为一定点，直线x=t（t≠0）分别与函数f（x）的图象和x轴交于点M，N，记△AMN的面积为S（t）．
（Ⅰ）当a=0时，求函数S（t）的单调区间；
（Ⅱ）当a＞2时，若∃t∈[0，2]，使得S（t）≥e，求a的取值范围．

Answer

（Ⅰ）先根据题意得到函数S（t）的解析式，再由导数与函数单调性的关系解不等式即可求函数S（t）的单调区间；
（Ⅱ）当a＞2时，若∃t∈[0，2]，使得S（t）≥e，转化为S（t）在[0，2]上的最大值一定大于等于e．先求，令S'（t）=0，得t=a-1．下面对字母a进行分类讨论：a-1≥2；a-1＜2．可得出关于a的不等关系，从而可求出a的范围；
【解析】
（I） 因为，其中t≠a…（2分）
当a=0，，其中t≠0
当t＞0时，，，
所以S'（t）＞0，所以S（t）在（0，+∞）上递增，…（4分）
当t＜0时，，，
令，解得t＜-1，所以S（t）在（-∞，-1）上递增
令，解得t＞-1，所以S（t）在（-1，0）上递减 …（7分）
综上，S（t）的单调递增区间为（0，+∞），（-∞，-1），S（t）的单调递增区间为（-1，0）
（II）因为，其中t≠a
当a＞2，t∈[0，2]时，
因为∃t∈[0，2]，使得S（t）≥e，所以S（t）在[0，2]上的最大值一定大于等于e，
，令S'（t）=0，得t=a-1…（8分）
当a-1≥2时，即a≥3时对t∈（0，2）成立，S（t）单调递增，
所以当t=2时，S（t）取得最大值
令，解得   ，
所以a≥3…（10分）
当a-1＜2时，即a＜3时对t∈（0，a-1）成立，S（t）单调递增，对t∈（a-1，2）成立，S（t）单调递减，
所以当t=a-1时，S（t）取得最大值，
令，解得a≥ln2+2，
所以ln2+2≤a＜3…（12分）
综上所述，ln2+2≤a…（13分）