Question

已知椭圆的四个顶点恰好是一边长为2，一内角为60°的菱形的四个顶点．
（Ⅰ）求椭圆M的方程；
（Ⅱ）直线l与椭圆M交于A，B两点，且线段AB的垂直平分线经过点，求△AOB（O为原点）面积的最大值．

Answer

（Ⅰ）依题意，可求得a=，b=1，从而可得椭圆M的方程；
（Ⅱ）设A（x1，y1），B（x2，y2），依题意，直线AB有斜率，可分直线AB的斜率k=0与直线AB的斜率k≠0讨论，利用弦长公式，再结合基本不等式即可求得各自情况下S△AOB的最大值．
【解析】
（Ⅰ）因为椭圆+=1（a＞b＞0）的四个顶点恰好是一边长为2，一内角为60°的菱形的四个顶点，
∴a=，b=1，椭圆M的方程为：+y2=1…4分
（Ⅱ）设A（x1，y1），B（x2，y2），因为AB的垂直平分线经过点（0，-），显然直线AB有斜率，
当直线AB的斜率为0时，AB的垂直平分线为y轴，则x1=-x2，y1=y2，
所以S△AOB=|2x1||y1|=|x1||y1|=|x1|•==，
∵≤=，
∴S△AOB≤，当且仅不当|x1|=时，S△AOB取得最大值为…7分
当直线AB的斜率不为0时，则设AB的方程为y=kx+t，
所以，代入得到（3k2+1）x2+6ktx+3t2-3=0，
当△=4（9k2+3-3t2）＞0，即3k2+1＞t2①，方程有两个不同的实数解；
又x1+x2=，=…8分
所以=，又=-，化简得到3k2+1=4t②
代入①，得到0＜t＜4，…10分
又原点到直线的距离为d=，
|AB|=|x1-x2|=•，
所以S△AOB=|AB||d|=••，
化简得：S△AOB=…12分
∵0＜t＜4，所以当t=2时，即k=±时，S△AOB取得最大值为．
综上，S△AOB取得最大值为…14分