Question

已知定义域为R的奇函数f（x），当x＞0时，f（x）=lnx．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）若函数h（x）=f（x）+在[1，e]上的最小值为3，求a的值；
（3）若存在x∈[1，+∞），使得f（x）＞x²+，求实数a的取值范围．

Answer

（1）根据函数奇偶性的定义，得x＜0时f（x）=-f（-x）=-ln（-x），结合f（0）=0即可求出函数f（x）的解析式；
（2）求导数得h′（x）=，可得h′（x）=0的根为x=a．因此分a≤1、1＜a＜e和a≥e三种情况讨论，分别得到函数在[1，e]上的单调性，再由最小值3建立关于a的等式，解之即可得到实数a的值；
（3）由题意得f（x）＞x2+在[1，+∞）上有解，变形整理得a＜xlnx-x3在[1，+∞）上有解．再利用导数工具加以研究，可得当x∈[1，+∞）时g′（x）＜0恒成立，得g（x）在[1，+∞）上单调递减，所以g（x）max=g（1）=-1，由此即可得到实数a的取值范围．
【解析】
（1）∵f（x）定义域为R的奇函数，
∴f（0）=0--------------------（1分）
当x＜0时，f（x）=-f（-x）=-ln（-x）
综上所述，函数f（x）的解析式是f（x）=--------------（3分）
（2）由题意得h（x）=lnx+，∴h′（x）=-=
由h′（x）=0得x=a
①当a≤1时，f（x）在[1，e]上单调递增
∴h（x）min=h（1）=a
∴a=3，但不符合a≤1，舍去---------------------（6分）
②当1＜a＜e时，f（x）在[1，a]上单调递减，在[a，e]上单调递增
∴h（x）min=h（a）=a
∴a=3，但不符合1＜a＜e，舍去---------------------（8分）
③当a≥e时，f（x）在[1，e]上单调递减
∴h（x）min=h（e）=1+，可得1+=3，解之得a=2e，符合题意
综上所述：当a=2e时，h（x）=f（x）+在[1，e]上的最小值为3-----------（10分）
（3）由题意：f（x）＞x2+在[1，+∞）上有解
即a＜xlnx-x3在[1，+∞）上有解--------------------（12分）
设g（x）=xlnx-x3，其中x∈[1，+∞），可得g′（x）=lnx+1-3x2
设φ（x）=lnx+1-3x2 （x∈[1，+∞）），则φ′（x）=-6x
当x∈[1，+∞）时φ′（x）＜0恒成立，可得φ（x）在[1，+∞）上单调递减
∴φ（x）≤φ（1）=-2，得φ（x）在[1，+∞）上恒为负数---------------------（14分）
∴当x∈[1，+∞）时g′（x）＜0恒成立，得g（x）在[1，+∞）上单调递减
因此，g（x）max=g（1）=-1
由此可得，实数a的取值范围为（-∞，-1）．---------------------（16分）