Question

定义在R上的函数f（x）满足①f（x+y）+f（x-y）=2f（x）cosy  ②．
（1）判断函数f（x）的奇偶性并证明；
（2）求f（x）；
（3）求f（x）+cosx+f（x）•cosx的最大值．

Answer

（1）令x=0，得f（y）+f（-y）=0∴f（x）是奇函数
（2）分别令，构造关于f（x）的方程求解
（3）即求y=sinα+cosα+sinα•cosα的最大值，设，转化为关于t的函数求解．
【解析】
（1）令x=0，得f（y）+f（-y）=0∴f（x）是奇函数．
（2）令，
得
令，
得
由（1），f（x）是奇函数，
两式相加：∴
（3）即求y=sinα+cosα+sinα•cosα的最大值
设，则，
且t2=（sinα+cosα）2=1+2sinα•cosα，即∴，∴时，