Question

如图，已知矩形ABCD所在平面外一点P，PA⊥平面ABCD，E、F分别是AB、PC的中点．
（1）求证：EF∥平面PAD；
（2）若∠PDA=45°，求EF与平面ABCD所成的角的大小．

Answer

（1）取PD中点G，连接AG、FG，利用三角形中位线定理，我们易判断四边形AEFG是平行四边形，AG∥EF，进而结合线面平行的判定定理，我们易得到EF∥平面PAD；
（2）过G作GH⊥AD，垂足为H，则可得∠GAH为AG与平面ABCD所成的角，即为所求角．
（1）证明：取PD中点G，连接AG、FG，
因为EF分别为AB、PC的中点，
所以AE=AB，GF∥DC且GF=DC，
又在矩形ABCD中AB∥CD且AB=CD，
所以AE∥GF且AE=GF，
所以四边形AEFG是平行四边形，
所以AG∥EF且AG=EF
又AG⊂平面PAD，EF⊄平面PAD．
所以EF∥平面PAD；
（2）【解析】
∵AG∥EF，
∴AG与平面ABCD所成的角等于EF与平面ABCD所成的角
过G作GH⊥AD，垂足为H，则GH∥PA
∵PA⊥平面ABCD，∴GH⊥平面ABCD，
∴∠GAH为AG与平面ABCD所成的角，即为所求角，
∵∠PDA=45°，G为PD的中点
∴∠GAH=45°
即EF与平面ABCD所成的角为45°．