Question

某工厂拟建一座平面图（如图所示）为矩形且面积为200m²的三级污水处理池，由于地形限制，长、宽都不能超过16m．如果池外周壁建造单价为每米400元，中间两条隔墙建造单价为每米248元，池底建造单价为每平方米80元（池壁厚度忽略不计，且池无盖）．
（1）写出总造价y（元）与污水处理池长x（m）的函数关系式，并指出其定义域；
（2）求污水处理池的长和宽各为多少时，污水处理池的总造价最低？并求出最低总造价．

Answer

（1）设水池的长为x，则宽为，求出池外的造价；求出中间两条隔墙的造价；求出池底的造价；将三个造价加起来即为总造价；据长、宽都大于0小于等于16求出定义域．
（2）求出导函数，判断导函数在定义域上的符号，判断出函数的单调性，利用单调性求出函数的最值．
【解析】
（1）因污水处理水池的长为．（5分）
由题设条件即函数定义域为[12.5，16]（7分）
（2）由（1）得（8分）
当x∈[12.5，16]时，y'＜0；
故函数y=f（x）在[12.5，16]上是减函数．（10分）
∴当x=16时，y取得最小值，
此时（元）此时（13分）
综上，当污水处理池的长为16m，宽为12.5m时，总造价最低，最低为45000元．（14分）