Question

设有关于x的一元二次方程x²+2ax+b²=0．
（Ⅰ）若a是从0，1，2，3四个数中任取的一个数，b是从0，1，2三个数中任取的一个数，记方程有两不等实根为事件A，方程没有实数根记为事件B，求事件A+B的概率
（Ⅱ）若a是从区间[0，3]任取的一个数，b是从区间[0，2]任取的一个数，求上述方程有实根的概率．

Answer

（1）本题是一个古典概型，由分步计数原理知基本事件共12个，方程x2+2ax+b2=0有实根的充要条件为a＞b，满足条件的事件中包含6个基本事件，由古典概型公式得到事件A发生的概率，同理可得出事件B发生的概率，最后利用互斥事件的加法公式即可求出结果．
（2）本题是一个几何概型，试验的全部约束所构成的区域为{（a，b）|0≤a≤3，0≤b≤2}．构成事件A的区域为{（a，b）|0≤a≤3，0≤b≤2，a≥b}．根据几何概型公式得到结果．
【解析】
（Ⅰ）由题意可知，总的基本事件有：
（0，0）、（0，1）、（0，2）、（1，0）、（1，1）、（1，2）、
（2，0）、（2，1）、（2，2）、（3，0）、（3，1）、（3，2）共有12个…（1分）
事件A发生，要求△=4a2-4b2＞0，即a2＞b2，
符合的基本事件有（1，0）、（2，0）、
（2，1）、（3，0）、（3，1）、（3，2），共6个…（2分）
故P（A）=…（3分）
事件B发生要求△=4a2-4b2＜0，即a2＜b2，符合的基本事件有：（0，1）、（0，2）、
（1，2）共3个…（4分）
故P（B）=…（5分）
又事件A、B互斥，
∴P（A+B）=P（A）+P（B）=…（6分）
（Ⅱ）试验的全部约束所构成的区域为{（a，b）|0≤a≤3，0≤b≤2}．
构成事件A的区域为{（a，b）|0≤a≤3，0≤b≤2，a≥b}．
所以所求的概率为==…（12分）