Question

设f（x）=x²+bx+c（b、c为常数），方程f（x）=x的两个实数根为x₁、x₂，且满足x₁＞0，x₂-x₁＞1．
（Ⅰ）求证：b²＞2（b+2c）；
（Ⅱ）设0＜t＜x₁，比较f（t）与x₁的大小．

Answer

（1）由题意f（x）=x的两个实数根为x1、x2，将其转化为方程x2+bx+c-x=0的两根为x1、x2，根据韦达定理x1+x2=x1+x2=1-b，x1x2=c，再根据条件x1＞0，x2-x1＞1，从而求证．
（2）构造函数g（t）=f（t）-x1=t2+bt+c-（x12+bx1+c），由已知条件0＜t＜x1，将方程g（t）=0因式分解，从而求解．
【解析】
（Ⅰ）由f（x）=x，得x2+（b-1）x+c=0．
∴x1+x2=1-b，x1x2=c．（2分）
∴（x1-x2）2=（x1+x2）2-4x1x2=（1-b）2-4c=b2-2b+1-4c．
∵x2-x1＞1，
∴（x2-x1）2＞1．
∴b2-2b+1-4c＞1，即b2＞2（b+2c）．（6分）

（Ⅱ）g（t）=f（t）-x1=t2+bt+c-（x12+bx1+c）
=（t+x1）（t-x1）+b（t-x1）=（t-x1）（t+x1+b）
=（t-x1）（t+1-x2）．（10分）
由0＜t＜x1，知t-x1＜0．
又∵x2-x1＞1，
∴1+x1-x2＜0，1+t-x2＜1+x1-x2＜0．
∴（t-x1）（t+1-x2）＞0．
∴f（t）＞x1．（14分）