Question

在数列{a_n}中，a₁=2，a_n+1=λa_n+λⁿ⁺¹+（2-λ）2ⁿ（n∈N^*），其中λ＞0．
（Ⅰ）记b_n=-（）ⁿ，求证数列{b_n}为等差数列，并求出数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）求数列{a_n}的前n项和S_n；
（Ⅲ）证明存在k∈N^*，使得对任意n∈N^*均成立．

Answer

（I）由an+1=λan+λn+1+（2-λ）2n（n∈N*），λ＞0，可得=+1，即bn+1-bn=1，从而可得结论；
（II）分类讨论，利用错位相减法，即可求数列{an}的前n项和Sn；
（Ⅲ）推测数列{}的第一项最大，即可得出结论．
（Ⅰ）【解析】
由an+1=λan+λn+1+（2-λ）2n（n∈N*），λ＞0，
可得=+1，即bn+1-bn=1
∴{bn}为等差数列，且其公差为1，首项为0，
∴，所以数列{an}的通项公式为an=（n-1）λn+2n．
（Ⅱ）【解析】
设Tn=λ2+2λ3+3λ4++（n-2）λn-1+（n-1）λn①
λTn=λ3+2λ4+3λ5++（n-2）λn+（n-1）λn+1．②
当λ≠1时，①式减去②式，得（1-λ）Tn=λ2+λ3++λn-（n-1）λn+1=，
∴Tn=，
这时数列{an}的前n项和
当λ=1时，Tn=．
这时数列{an}的前n项和
故
（Ⅲ）证明：通过分析，推测数列{}的第一项最大，下面证明：，n≥2③． ③
由λ＞0知an＞0．要使③式成立，只要2an+1＜（λ2+4）an（n≥2）．
因为（λ2+4）an=（λ2+4）（n-1）λn+（λ2+4）2n＞4λ．
（n-1）λn+4×2n=4（n-1）λn+1+2n+2≥2nλn+1+2n+2=2an+1，n＞2．
所以③式成立．
因此，存在k=1，使得对任意n∈N*均成立．