Question

已知f（x）=x³-3ax-1（a≠0）在x=-1处取得极值．
（1）求实数a的值；
（2）求g（x）=x³+g′（1）•（1+f′（x））在区间[-1，1]上的最大值和最小值．

Answer

（1）因为f（x）在x=-3是取极值，则求出f′（x）得到f′（-3）=0解出求出a即可．
（2）先求出g′（1）=，g′（x）=x2-x=x（x-）再利用导数工具求最值即可．
【解析】
（1）f′（x）=3x2-3a，在x=-1处取得极值，则f′（-1）=0．解得a=1
所以f（x）=x3-3x-1，f′（x）=3x2-3，
（2）g（x）=x3+g′（1）•（3x2-2），g′（x）=x2+g′（1）•6x，
令x=1得，g′（1）=1+g′（1）•6，解得g′（1）=
所以g′（x）=x2-x=x（x-）
当-1＜x＜0时，g′（x）＞0，g（x）单调递增，当0＜x＜1时，g′（x）＜0，g（x）单调递减，
所以g（x）最大值为g（0）=，
由于g（-1）=＜g（1）=
所以g（x）最小值为g（-1）=