Question

已知圆x²+y²=25，△ABC内接于此圆，A点的坐标（3，4），O为坐标原点．
（1）若△ABC的重心是，求直线BC的方程；（三角形重心是三角形三条中线的交点，并且重心到顶点的距离是它到对边中点距离的两倍）
（2）若直线AB与直线AC的倾斜角互补，求证：直线BC的斜率为定值．

Answer

（1）要求三角形顶点的坐标，可先将它们的坐标设出来，根据重心的性质，我们不难求出BC边上中点D的坐标，及BC所在直线的斜率，代入直线的点斜式方程即可求出答案．
（2）若直线AB与直线AC的倾斜角互补，则他们的斜率互为相反数，又由他们都经过A点，则可以设出他们的点斜式方程，代入圆方程后，求出BC两点的坐标，代入斜率公式，即可求证出正确的结论．
【解析】
设B（x1，y1），C（x2，y2），
由题意可得：
即，
又，
相减得：（x1+x2）（x1-x2）+（y1+y2）（y1-y2）=0，
∴
∴直线BC的方程为y-1=-（x-1），即x+y-2=0
（2）设AB：y=k（x-3）+4，代入圆的方程整理得：
（1+k2）x2+（8k-6k2）x+9k2-24k-9=0
∵3，x1是上述方程的两根，
∴
同理可得：
∴