Question

已知二次函数h（x）=ax²+bx+c（其中c＜3），其导函数y=h′（x）的图象如图，f（x）=6lnx+h（x）．
（I）求函数f（x）在x=3处的切线斜率；
（Ⅱ）若函数f（x）在区间（m，m+）上是单调函数，求实数m的取值范围；
（Ⅲ）若对任意k∈[-1，1]，函数y=kx，x∈（0，6]的图象总在函数y=f（x）图象的上方，求c的取值范围．

Answer

（I）利用导函数y=h′（x）的图象确定a，b，c．然后求出函数f（x），求出导函数y=f′（x），可得函数f（x）在x=3处的切线斜率k=f'（3）．
（Ⅱ）要使求函数f（x）在区间（m，m+）上是单调函数，则f'（x）的符号没有变化，可以求得实数m的取值范围．
（Ⅲ）函数y=kx的图象总在函数y=f（x）图象的上方得到kx大于等于f（x），列出不等式，构造函数，求出函数的最小值即可得到c的范围．
【解析】
（I）二次函数h（x）=ax2+bx+c的导数为y=h′（x）=2ax+b，由导函数y=h′（x）的图象可知，
导函数y=h′（x）过点（4，0）和（0，-8），
代入h′（x）=2ax+b得b=-8，a=1，即h（x）=x2-8x+c，h′（x）=2x-8，
f（x）=6lnx+h（x）=6lnx+x2-8x+c，，所以函数f（x）在x=3处的切线斜率k=f'（3）=2+2×3-8=0，
所以函数f（x）在点（3，f（3））处的切线斜率为0．
（Ⅱ）因为f（x）=6lnx+x2-8x+c的定义域为（0，+∞），则==在（m，m+）上导数符号不变化．
因为，，
当x变化时

（0，1） 1 （1，3） 3 （3，+∞）
f'（x） + - +
f（x） ↗   ↘   ↗

所以函数f（x）的单调递增区间为（0，1）和（3，+∞）．
单调递减区间为（1，3）．
若函数在（m，m+）上是单调递减函数，则有，解得1．
若函数在（m，m+）上是单调递增函数，则有或者m≥3，解得0或m≥3．
综上若函数在（m，m+）上是单调函数，则0或m≥3或1．
（Ⅲ）对任意k∈[-1，1]，函数y=kx，x∈（0，6]的图象总在函数y=f（x）图象的上方，
则只需要-x＞f（x）在x∈（0，6]恒成立，即可．
即-x＞6lnx+x2-8x+c恒成立，所以c＜-x2-6lnx+7x．
设g（x）=-x2-6lnx+7x，x∈（0，6]，则，
当此时函数单调递增，
当，此时函数单调递减．
所以g（x）的最小值为g（）或g（6）的较小者．
，g（6）=-36-6ln6+7×6=6-6ln6，
，所以g（x）的最小值为g（6）=6-6ln6，
所以c＜6-6ln6，又c＜3，所以c＜6-6ln6．
即c的取值范围是（-∞，6-6ln6）．