Question

已知，且sin（2α+β）=3cos（α+β）sinα，，求α+β的值．

Answer

第一个等式中将sin（2α+β）变形为sin[（α+β）+α]，利用两角和与差的正弦函数公式化简，第二个等式变形后利用二倍角的正切函数公式化简，求出tanα的值，进而求出tan（α+β）的值，根据α与β的范围求出α+β的范围，利用特殊角的三角函数值即可求出α+β的度数．
【解析】
∵sin（2α+β）=sin[（α+β）+α]=sin（α+β）cosα+cos（α+β）sinα=3cos（α+β）sinα，
∴sin（α+β）cosα=2cos（α+β）sinα，即tan（α+β）=2tanα，
∵4tan=1-tan2，
∴=，即tanα=，
∴tan（α+β）=2tanα=1，
∵α∈[0，]，β∈[0，]，
∴α+β∈[0，]，
则α+β=．