Question

设函数f（x）在R上满足f（3+x）=f（3-x），f（8+x）=f（8-x），且在闭区间[0，8]上只有f（1）=f（5）=f（7）=0．
（1）求证函数f（x）是周期函数；
（2）求函数f（x）在闭区间[-10，0]上的所有零点；
（3）求函数f（x）在闭区间[-2012，2012]上的零点个数及所有零点的和．

Answer

（1）利用周期函数的定义证明．（2）利用周期性结合已知条件提供的零点，求出其他的零点．
（3）利用周期性可以判断在闭区间[-2012，2012]上的零点个数及所有零点的和
【解析】
（1）由f（3+x）=f（3-x），f（8+x）=f（8-x），
得f（x）=f（x+10），所以函数f（x）为周期函数，周期为T=10．
（2）由f（8+x）=f（8-x）知f（9）=f（7）=0，f（1）=f（1-10）=f（-9）=0，
f（5）=f（5-10）=f（-5）=0，f（7）=f（7-10）=f（-3）=0，f（9）=f（9-10）=f（-1）=0，
所以函数f（x）在区间[-10，0]上的零点分别有-1，-3，-5，-9．
（3）因为函数的周期是10，由（2）知一个周期内的零点个数为4个，所以在区间[-2010，2010]内零点个数为2×201×4=1608个零点．
又f（2011）=f（1）=f（-9）=0，f（2012）=f（2），f（-2011）=f（-1）=0，f（-2012）=f（-2），
所以2011，-2011也是两个零点，所以在区间[-2012，2012]上共有1608+2=1610个零点．零点之为804．