Question

如图，二次函数y=-mx²+4m的顶点坐标（0，8），矩形ABCD的顶点B、C在x轴上，A、D在抛物线上，矩形ABCD在抛物线与x轴所围成的封闭图形内．
（I）求二次函数f（x）的解析式；
（II）设点A的坐标为（x，y），试求矩形ABCD的周长p关于自变量x的函数解析式，并求出自变量x的取值范围；
（III）是否存在这样的矩形ABCD，使它的面积为8？试证明你的结论．

Answer

（1）由题意直接利用待定系数法求解即可：y=-2x2+8；
（2）根据解析式和图可表示出AD和AB，再表示出矩形ABCD的周长p与自变量x的函数关系，求出x的范围；
（3）先假设存在，再由（2）表示出矩形的面积，再求导、临界点，以及对应的单调区间，再求出矩形面积的范围，再进行判断即可．
【解析】
（1）∵二次函数y=-mx2+4m的顶点坐标为（0，8），
∴4m=8，即m=2，
则二次函数的解析式为：f（x）=-2x2+8，
（2）设点A（x，y），由图得：0＜x＜2，
∵点A在抛物线y=-2x2+8上
∴y=-2x2+8，则AD=2y=-4x2+16，AB=2x，
∴=2（AD+AB）=2（2x-4x2+16）=-8x2+4x+32（0＜x＜2）
（3）假设存在这样的矩形ABCD，使它的面积为8，
由（2）得，S=AD•AB=2x（-4x2+16）=-8x3+32x，且0，
∴S′=-24x2+32，由-24x2+32=0得，，
当0＜x＜时，S′＞0；当＜x＜2时，S′＜0，
∴S在（0，）上递增，在（，2）上递减，
则当x=时，矩形的面积取到最大值为s=＞8，
∵当x=0时，S=0；当x=2时，S=0＜8，
∴S∈（0，]
故存在这样的矩形ABCD，使它的面积为8．