Question

二次函数的图象顶点为A（1，16），且图象在x轴上截得的线段长8．
（1）求这个二次函数的解析式；
（2）在区间[-1，1]上，y=f （x）的图象恒在一次函数y=2x+m的图象上方，试确定实数m的范围．

Answer

（1）因为已知二次函数的顶点坐标，故可设二次函数的顶点式f（x）=a（x-1）2+16，且图象在x轴上截得的线段长8，即可得a的值，从而得函数解析式；
（2）先将y=f（x）的图象恒在y=2x+m的图象上方问题转化为g（x）=x2+m-15＜0在[-1，1]上恒成立问题，从而只需求函数g（x）的最大值即可得m的取值范围．
【解析】
（1）由已知，设f（x）=a（x-1）2+16，函数与x轴的交点为（x1，0）与（x2，0）
又由图象在x轴上截得的线段长8，得|x1-x2|==8，
解得：a=-1
故f（x）=-（x-1）2+16=-x2+2x+15
（2）由已知，即-x2+2x+15＞2x+m，化简得 x2+m-15＜0，
设g（x）=x2+m-15，则只要g（x）max＜0，x∈[-1，1]即可
∵g（x）=x2+m-15在[-1，0]上为减函数，在[0，1]上为增函数．
∴g（x）max=g（1）=1+m-15＜0，
∴m＜14．