Question

已知
（1）求f（x）；
（2）判断f（x）的奇偶性和单调性；
（3）若当x∈（-1，1）时，有f（1-m）+f（1-m²）＜0，求m的集合M．

Answer

（1）换元法：令t=logax，则x=at，代入即可求得函数解析式；
（2）利用函数的奇偶性、单调性的定义即可判断；
（3）利用函数的奇偶性、单调性先把不等式转化为具体不等式，再考虑其定义域即可得到一不等式组，解出即可；
【解析】
（1）令t=logax，则x=at，代入，可得
∴函数的解析式；
（2）函数f（x）的定义域为R，关于原点对称，
且，
∴f（x）为奇函数；
设x1，x2∈R，且x1＜x2，
则f（x1）-f（x2）=-=，
a＞1时，∵x1＜x2，∴＞0，＜0，1+＞0，
∴f（x1）-f（x2）＜0，即f（x1）＜f（x2），
所以f（x）单调递增；
（3）若当x∈（-1，1）时，有1-m∈（-1，1）且1-m2∈（-1，1），
f（1-m）+f（1-m2）＜0可化为f（1-m）＜-f（1-m2），
∵f（x）为奇函数，∴f（1-m）＜f（m2-1），又f（x）为增函数，∴1-m＜m2-1，
由解得，1＜m＜，
故M=．