Question

已知曲线f（x）=xⁿ⁺¹（n∈N^*）与直线x=1交于点P，若设曲线y=f（x）在点P处的切线与x轴交点的横坐标为x_n，则lgx₁+lgx₂+…+lgx₉的值为（ ）
A．-1
B．1
C．-2
D．2

Answer

先求出函数的导数，由导数的几何意义求切线的斜率k，代入点斜式方程求出过（1，1）的切线方程，在切线方程中令y=0，可得xn，然后根据对数的运算法则计算即可得到结论．
【解析】
由题意得f′（x）=（n+1）xn，
设过（1，1）的切线斜率k，则k=f′（1）=n+1，
∴切线方程为y-1=（n+1）（x-1）
令y=0，可得x=1-=，
即xn=，
∴lgx1+lgx2+…+lgx9=lg（x1x2…x9）
=lg（）
=lg=-1，
故选A．