Question

已知函数f（x）=ax²-2x，g（x）=-（a，b∈R）
（1）当b=0时，若f（x）在（-∞，2]上单调递减，求a的取值范围；
（2）求满足下列条件的所有整数对（a，b）：存在x，使得f（x）是f（x）的最大值，g（x）是g（x）的最小值．

Answer

（1）当b=0时，f（x）=ax2-4x，讨论a的取值并结合二次函数的单调性，建立关于实数a的不等式即可解出实数a的取值范围；
（2）当a=0时，易得一次函数f（x）没有最大值，不符合题意．因此（x）为二次函数，可得a＜0，函数f（x）取最大值时对应的x=，结合题意得到=a是一个整数，化简得a2=，即可得出满足条件的整数只有a=-1，从而得到b=-1或3，得到满足条件的所有整数对（a，b）．
【解析】
（1）当b=0，时，f（x）=ax2-4x，
若a=0，f（x）=-4x，则f（x）在[2，+∞）上单调递减，不符题意，
故a≠0，要使f（x）在[2，+∞）上单调递增，必须满足，解之得0＜a≤1
即实数a的取值范围是（0，1]；
（2）若a=0，f（x）=2x，可得f（x）无最大值，故a≠0，
∴f（x）为二次函数，
要使f（x）有最大值，必须满足，即a＜0且≤b≤，
此时，x=x=时，f（x）有最大值．
又∵g（x）取最小值时，x=x=a，
依题意，=a∈Z，可得a2=，
∵a＜0且≤b≤，
∴0，结合a为整数得a=-1，此时b=-1或b=3．
综上所述，满足条件的实数对（a，b）是：（-1，-1），（-1，3）．