Question

已知函数f（x）=lnx-x+1（x∈[1，+∞）），数列{a_n}满足．
（1）求数列{a_n}的通项公式a_n；
（2）求f（a₁）+f（a₂）+…+f（a_n）；
（3）求证：．

Answer

（1）由，知{an}是等比数列，又a1=e，可得数列{an}的通项公式．
（2）由f（an）=lnen-en+1=（n+1）-en，得f（a1）+f（a2）+…+f（an）的值．
（3）由函数f（x），求得f'（x），由导数判断f（x）递减，从而得f（x）≤f（1）=0，即lnx≤x-1，所以：ln1+ln2+…+lnn≤0+1+…+（n-1），即证得．
【解析】
（1）∵，∴{an}是等比数列，又a1=e，∴数列{an}的通项公式为：an=en．
（2）由（1）知，f（an）=lnen-en+1=（n+1）-en，
∴f（a1）+f（a2）+…+f（an）=[2+3+…+（n+1）]-（e+e2+…+en）
=．
（3）由函数f（x）=lnx-x+1，得，又x≥1，∴f'（x）≤0，
∴f（x）递减，∴f（x）≤f（1），
即f（x）≤0，也就是lnx≤x-1，
于是：ln1+ln2+…+lnn≤0+1+…+（n-1），
即，
故．