Question

已知二次函数y=f（x）（x∈R）的图象过点（0，-3），且f（x）＞0的解集（1，3）．
（Ⅰ）求f（x）的解析式；
（Ⅱ）求函数求函数y=f（log₂x），x∈[2，16]的最值．

Answer

（Ⅰ）设二次函数f（x）=a（x-1）（x-3）（a＜0），将（0，-3）代入即可求得f（x）的解析式；
（Ⅱ）设t=log2x，由x∈[2，16]⇒t∈[1，2]，利用复合函数的单调性即可求得其最大值．
解（Ⅰ）由题意可设二次函数f（x）=a（x-1）（x-3）（a＜0）---------------------------（2分）
当x=0时，y=-3，即有-3=a（-1）（-3），
解得a=-1，f（x）=-（x-1）（x-3）=-x2+4x-3，
∴f（x）的解析式为f（x）=-x2+4x-3．-----------（6分）
（Ⅱ）设t=log2x，∵x∈[2，16]，
∴t∈[1，4]，
y=f（log2x）=-+4log2x-3=-t2+4t-3，-----------------------（7分）
∴在t∈[1，2]上为增函数，
∴在t∈[2，4]上为减函数，-----------------------------------------------（8分）
∴t=2即x=4时，y最大=1---------------------------------------------（10分）
∴t=4即x=16时，y最小=-3-------------------------------------------（12分）