Question

已知数列{a_n}，a₁=1，a_n=λa_n-1+λ-2（n≥2）．
（1）当λ为何值时，数列{a_n}可以构成公差不为零的等差数列？并求其通项公式；
（2）若λ=3，令b_n=a_n+，求数列{b_n}的前n项和S_n．

Answer

（1）由a1=1，an=λan-1+λ-2（≥2），我们可以求出a2，a3（含参数λ），根据等差的性质，我们可以根据a1+a3=2a2，构造一个含λ的方程，解方程，并对λ值代入进行讨论，即可得到答案．
（2）若λ=3，利用综合法我们易求出数列an}的通项公式，再根据bn=an+，求出{bn}的通项公式，根据其通项公式，选择合适的求和法，求出数列{bn}的前n项和Sn．
【解析】
（1）a2=λa1+λ-2=2λ-2，
a3=λa2+λ-2=2λ2-2λ+λ-2=2λ2-λ-2，
∵a1+a3=2a2，
∴1+2λ2-λ-2=2（2λ-2），
得2λ2-5λ+3=0，
解得λ=1或λ=．
当λ=时，
a2=2×-2=1，a1=a2，
故λ=不合题意舍去；
当λ=1时，代入an=λan-1+λ-2可得an-an-1=-1，
∴数列{an}构成首项为a1=1，公差为-1的等差数列，
∴an=-n+2．
（2）由λ=3可得，an=3an-1+3-2，即an=3an-1+1．
∴an+=3an-1+，
∴an+=，
即bn=3bn-1（n≥2），又b1=a1+=，
∴数列{bn}构成首项为b1=，公比为3的等比数列，
∴bn=×3n-1=，
∴Sn=
=（3n-1）．