Question

已知向量=（5cosx，cosx），=（sinx，2cosx），函数f（x）=+．
（1）求函数f（x）的最小正周期和单调增区间；
（2）当时，求函数f（x）的值域．

Answer

（1）根据向量数量积的坐标运算公式，结合三角恒等变换公式化简得f（x）═5sin（2x+）+，再由三角函数的周期公式和单调区间公式，即可算出f（x）的最小正周期和单调增区间；
（2）由，得≤2x+≤，结合正弦函数的图象可得sin（2x+）∈[-，1]，进而可以算出函数
f（x）的值域．
【解析】
（1）∵向量=（5cosx，cosx），=（sinx，2cosx），
∴f（x）=+=5cosxsinx+2cos2x+（sin2x+4cos2x）
=sin2x+（1+cos2x）+1=5sin（2x+）+
∴f（x）的最小正周期T==π．---（4分）
由2kπ-≤2x+≤2kπ+，得kπ-≤x≤kπ+，（k∈Z）
∴函数的增区间是[kπ-，kπ+]．------------（8分）
（2）由，得≤2x+≤，
∴sin（2x+）∈[-，1]，
∵1≤5sin（2x+）+≤，
∴当时，求函数f（x）的值域为[1，]．---------------（14分）