Question

已知是奇函数
（Ⅰ）求k的值，并求该函数的定义域；
（Ⅱ）根据（Ⅰ）的结果，判断f（x）在（1，+∞）上的单调性，并给出证明．

Answer

（I）根据函数是奇函数，则f（x）+f（-x）=0，建立等式关系，求出k的值，然后根据真数大于零求出函数的定义域；
（II）在（1，+∞）上任取x1，x2，并且x1＞x2，然后判定f（x1）与f（x2）的大小，从而判断f（x）在（1，+∞）上的单调性．
【解析】
（Ⅰ）∵是奇函数，
∴f（x）+f（-x）=0，即
则1-k2x2=1-x2，即k=±1，（3分）
当k=1时，，所以k=-1（14分）
定义域为：{x|x＞1或x＜-1}
（Ⅱ）在（1，+∞）上任取x1，x2，并且x1＞x2，则（8分）
又（x1+1）（x2-1）-（x1-1）（x2+1）=2（x2-x1）＜0∴，又a＞1，
∴（10分）
所以f（x1）＜f（x2），所以f（x）在（1，+∞）上是单调递减函数（12分）