Question

在平面直角坐标系中，O为坐标原点，A、B、C三点满足
（Ⅰ）求证：A、B、C三点共线；
（Ⅱ）求的值；
（Ⅲ）已知A（1，cosx）、B（1+cosx，cosx），的最小值为，求实数m的值．

Answer

（Ⅰ）求证：A、B、C三点共线，可证由三点组成的两个向量共线，由题设条件不难得到；
（II）由（Ⅰ）变形即可得到两向量模的比值；
（Ⅲ）求出的解析式，判断其最值取到的位置，令其最小值为，由参数即可，
【解析】
（Ⅰ）由已知，即，
∴∥．又∵、有公共点A，∴A，B，C三点共线．（3分）
（Ⅱ）∵，∴=∴，∴．（6分）
（Ⅲ）∵C为的定比分点，λ=2，∴，
∴
∵，∴cosx∈[0，1]（8分）
当m＜0时，当cosx=0时，f（x）取最小值1与已知相矛盾；（9分）
当0≤m≤1时，当cosx=m时，f（x）取最小值1-m2，得（舍）（10分）
当m＞1时，当cosx=1时，f（x）取得最小值2-2m，得（11分）
综上所述，为所求．（12分）