Question

设关于x的方程4^x-2^x+1-b=0（b∈R）
（Ⅰ）若方程有实数解，求实数b的取值范围；
（Ⅱ）当方程有实数解时，讨论方程实根的个数，并求出方程的解．

Answer

（Ⅰ）先将原方程变为b=4x-2x+1，再利用整体思想将2x看成整体，结合二次函数的性质即可求得实数b的取值范围；
（Ⅱ）对b进行分类讨论：①当b=-1时，②当b＞-1时，分别讨论方程实根的个数，最后综合①、②，得出结论即可．
【解析】
（Ⅰ）原方程为b=4x-2x+1，
∵4x-2x+1=（2x）2-2×2x=（2x-1）2-1≥-1，
∴当b∈[-1，+∞）时方程有实数解；（4分）
（Ⅱ）①当b=-1时，2x=1，∴方程有唯一解x=0；（6分）
②当b＞-1时，∵．
∵，∴的解为；--（8分）
令，
∴的解为；--（10分）
综合①、②，得
（1）当-1＜b＜0时原方程有两【解析】
；
（2）当b≥0或b=-1时，原方程有唯一解；（12分）