Question

已知函数f（x）=ax²+x+1（a＞0）的两个不同的零点为x₁，x₂
（Ⅰ）证明：（1+x₁）（1+x₂）=1；
（Ⅱ）证明：x₁＜-1，x₂＜-1；
（Ⅲ）若x₁，x₂满足，试求a的取值范围．

Answer

（Ⅰ）x1，x2是关于x的一元二次方程ax2+x+1=0的实数根，利用韦达定理即可求得x1+x2=，x1x2=并带人：（1+x1）（1+x2）即可证明结论；
（Ⅱ）利用判别式△＞0，求得，分析出x1+x2=，x1x2=，从而证得结论；
（Ⅲ）由求出≤≤10，另由：（1+x1）（1+x2）=1求得-1=，利用不等式的基本性质分析求得=．而，消元配方即可求得a的取值范围．
【解析】
（Ⅰ）由题意知，x1，x2是关于x的一元二次方程ax2+x+1=0的实数根，
∴x1+x2=，x1x2=．∴x1+x2=-x1x2
∴（1+x1）（1+x2）①（3分）
（Ⅱ）证明：由于关于x一元二次方程ax2+x+1=0有两个不等实数根x1，x2，
故有a＞0且△=1-4a＞0∴（4分）
∴（5分）
∴∴即x1＜-1，x2＜-1得证．（6分）
（Ⅲ）【解析】
由⇔≤≤10，由①得-1=．
∴=．∴≤≤10，∴≤≤（7分）
∴==+（）=+，（8分）
当时，a取最大值为；
当或时，a取最小值；（10分）
又因为，故a的取值范围是（12分）