Question

已知二次函数f（x）满足条件f（0）=1，及f（x+1）-f（x）=2x．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）在区间[-1，1]上，y=f（x）的图象恒在y=2x+m的图象上方，试确定实数m的取值范围．

Answer

（1）根据二次函数f（x）满足条件f（0）=1，及f（x+1）-f（x）=2x，可求f（1）=1，f（-1）=3，从而可求函数f（x）的解析式；
（2）在区间[-1，1]上，y=f（x）的图象恒在y=2x+m的图象上方，等价于x2-x+1＞2x+m在[-1，1]上恒成立，等价于x2-3x+1＞m在[-1，1]上恒成立，求出左边函数的最小值，即可求得实数m的取值范围．
【解析】
（1）令x=0，则∵f（x+1）-f（x）=2x，
∴f（1）-f（0）=0，
∴f（1）=f（0）
∵f（0）=1
∴f（1）=1，
∴二次函数图象的对称轴为．
∴可令二次函数的解析式为f（x）=．
令x=-1，则∵f（x+1）-f（x）=2x，
∴f（0）-f（-1）=-2
∵f（0）=1
∴f（-1）=3，
∴
∴a=1，
∴二次函数的解析式为
（2）∵在区间[-1，1]上，y=f（x）的图象恒在y=2x+m的图象上方
∴x2-x+1＞2x+m在[-1，1]上恒成立
∴x2-3x+1＞m在[-1，1]上恒成立
令g（x）=x2-3x+1，则g（x）=（x-）2-
∴g（x）=x2-3x+1在[-1，1]上单调递减
∴g（x）min=g（1）=-1，
∴m＜-1