Question

设f（x）是定义在R上的函数，对任意实数m、n，都有f（m）•f（n）=f（m+n），且当x＜0时，f（x）＞1．
（1）证明：①f（0）=1；②当x＞0时，0＜f（x）＜1；③f（x）是R上的减函数；
（2）设a∈R，试解关于x的不等式f（x²-3ax+1）•f（-3x+6a+1）≥1．

Answer

（1）①令m=n=0，即可求得f（0）=1；②利用当x＜0时，f（x）＞1与f（0）=1即可证得当x＞0时，0＜f（x）＜1；③任取x1＜x2，可求得f（x1-x2）=＞1
⇒f（x1）＞f（x2），从而可证y=f（x）在定义域R上为减函数；
（2）逆用已知f（m）•f（n）=f（m+n），将f（x2-3ax+1）•f（-3x+6a+1）≥1转化为x2-3（a+1）x+2（3a+1）≤0，再解此不等式即可．
【解析】
（1）①证明：在f（m）•f（n）=f（m+n）中，
令m=n=0
得f（0）•f（0）=f（0+0）即f（0）=f（0）•f（0）．
∴f（0）=0或f（0）=1，
若f（0）=0，则当x＜0时，
有f（x）=f（x+0）=f（x）•f（0）=0，
与题设矛盾，
∴f（0）=1．
②当x＞0时，-x＜0，由已知得f（-x）＞1，
又f（0）=f[x+（-x）]=f（x）•f（-x）=1，f（-x）＞1，
∴0＜f（x）=＜1，即x＞0时，0＜f（x）＜1．
③任取x1＜x2，则f（x1）=f（x1-x2+x2）=f（x1-x2）•f（x2），
∵x1-x2＜0，
∴f（x1-x2）＞1，又由（1）（2）及已知条件知f（x2）＞0，
∴f（x1-x2）=＞1
∴f（x1）＞f（x2），
∴y=f（x）在定义域R上为减函数．
（2）f（x2-3ax+1）•f（-3x+6a+1）=f（x2-3ax+1-3x+6a+1）=f[x2-3（a+1）x+2（3a+1）]
又f（0）=1，f（x）在R上单调递减，
∴原不等式等价于x2-3（a+1）x+2（3a+1）≤0
不等式可化为（x-2）[x-（3a+1）]≤0
当2＜3a+1，即a＞时，不等式的解集为{x|2≤x≤3a+1}；
当2=3a+1，即a=时，（x-2）2≤0，不等式的解集为{2}；
当2＞3a+1，即a＜时，不等式的解集为{x|3a+1≤x≤2}．