Question

已知y=f（x）（x∈D，D为此函数的定义域）同时满足下列两个条件：①函数f（x）在D内单调递增或单调递减；②如果存在区间[a，b]⊆D，使函数f（x）在区间[a，b]上的值域为[a，b]，那么称y=f（x），x∈D为闭函数；请解答以下问题：
（1）求闭函数y=-x³符合条件②的区间[a，b]；
（2）判断函数是否为闭函数？并说明理由；
（3）若是闭函数，求实数k的取值范围．

Answer

（1）确定y=-x3是R上的减函数，可得a+b=0，又b＞a，即可得出结论；
（2）当在上单调递减，在上单调递增，可得结论；
（3）易知是（0，+∞）上的增函数，符合条件①；设函数符合条件②的区间为[a，b]，则，利用条件，可得结论．
【解析】
（1）先证y=-x3符合条件①：对于任意x1，x2∈R，
且x1＜x2，有==，
∴y1＞y2，故y=-x3是R上的减函数．
由题可得：则（a+b）=-（a3+b3），∴（a+b）[a2-ab+b2+1]=0
而，∴a+b=0，
又b＞a，∴a=-1，b=1所求区间为[-1，1]
（2）当在上单调递减，在上单调递增，
所以，函数在定义域上不是单调递增或单调递减函数，从而该函数不是闭函数
（3）易知是（0，+∞）上的增函数，符合条件①；
设函数符合条件②的区间为[a，b]，则；
故a，b是的两个不等根，即方程组为：有两个不等非负实根；
设x1，x2为方程x2-（2k+1）x+k2=0的二根，
则，
解得：，∴k的取值范围．