Question

已知（x+1）ⁿ=a+a₁（x-1）+a₂（x-1）²+a₃（x-1）³+…+a_n（x-1）ⁿ，（其中n∈N^*）
（1）求a及S_n=a₁+2a₂+3a₃+…+na_n；
（2）试比较S_n与n³的大小，并说明理由．

Answer

（1）取x=1，即可求得 a的值．对所给的等式两边求导，再取x=2，可得Sn的值．
（2）要比较Sn与n3的大小，即比较：3n-1与n2的大小，当n=1，2时，3n-1＜n2； 当n=3时，3n-1=n2； 当n=4，5时，3n-1＞n2 ． 猜想：当n≥4时，3n-1＞n2，再用数学归纳法证明．
【解析】
（1）取x=1，可得 ． …（1分）
对等式两边求导，得，
取x=2，则．       …（4分）
（2）要比较Sn与n3的大小，即比较：3n-1与n2的大小，
当n=1，2时，3n-1＜n2；  当n=3时，3n-1=n2； 当n=4，5时，3n-1＞n2． …（6分）
猜想：当n≥4时，3n-1＞n2，下面用数学归纳法证明：
由上述过程可知，n=4时结论成立，
假设当n=k，（k≥4）时结论成立，即3k-1＞k2，
当n=k+1时，3（k+1）-1=3•3k-1＞3k2．
而3k2-（k+1）2=2k2-2k-1=2k（k-1）-1≥2×4×3-1=23＞0，
∴3（k+1）-1＞3•3k-1＞3k2＞（k+1）2，故当n=k+1时结论也成立，
∴当n≥4时，3n-1＞n2成立．    …（11分）
综上得，当n=1，2时，； 当n=3时，；当n≥4，n∈N*时，．…（12分）