Question

已知函数f（x）=|x+2|-|x-1|．
（Ⅰ）试求f（x）的值域；
（Ⅱ）设若对∀s∈（0，+∞），∀t∈（-∞，+∞），恒有g（s）≥f（t）成立，试求实数a的取值范围．

Answer

（1）将含有绝对值的函数转化为分段函数，再求分段函数的值域；
（2）恒成立问题转化成最小值最大值问题，即g（x）min≥f（x）max．
【解析】
（Ⅰ）函数可化为，
∴f（x）∈[-3，3]（5分）
（Ⅱ）若x＞0，则，
即当ax2=3时，，又由（Ⅰ）知
∴f（x）max=3（8分）
若对∀s∈（0，+∞），∀t∈（-∞，+∞），恒有g（s）≥f（t）成立，
即g（x）min≥f（x）max，
∴，
∴a≥3，即a的取值范围是[3，+∞）．（10分）