Question

如图，正三棱柱ABC-A₁B₁C₁的所有棱长都为2，D为CC₁中点．
（Ⅰ）求证：AB₁⊥平面A₁BD；
（Ⅱ）求二面角A-A₁D-B的正弦值．

Answer

（Ⅰ）取BC中点O，连接AO，取B1C1中点O1，以0为原点，OB，OO1 ，OA 的方向为x、y、z轴的正方向建立空间直角坐标系，用坐标表示向量，，，验证=0，，即可证明AB1⊥平面A1BD；
（Ⅱ）求出平面A1BD的法向量为，平面A1AD的法向量为，再利用向量的夹角公式，即可求得二面角A-A1D-B的正弦值．
【解析】
取BC中点O，连接AO．
∵△ABC为正三角形，∴AO⊥BC、
∵正三棱柱ABC-A1B1C1中，平面ABC⊥平面BCC1B1，
∴AO⊥平面BCC1B1，
取B1C1中点O1，以0为原点，OB，OO1 ，OA 的方向为x、y、z轴的正方向建立空间直角坐标系
则B（1，0，0），D（-1，1，0），A1（0，2，3 ），A（0，0，3 ），B1（1，2，0），
（Ⅰ），，
=-1+4-3=0，
∴AB1⊥BD，AB1 ⊥BA1 ，
∴AB1⊥平面A1BD；
（Ⅱ）平面A1BD的法向量为
设平面A1AD的法向量为=（x，y，z），∴，∴
令z=1、y=0、x=-，则
∴cos
设二面角A-A1D-B的平面角为θ，即
∴
即二面角A-A1D-B的正弦值为．