Question

F₁、F₂是椭圆的两个焦点，M是椭圆上任一点，从任一焦点向△F₁MF₂顶点M的外角平分线引垂线，垂足为P，则P点的轨迹为（ ）
A．圆
B．椭圆
C．双曲线
D．抛物线

Answer

根据题意，延长F1P，与F2M的延长线交于B点，连接PO．根据等腰三角形“三线合一”和三角形中位线定理，结合椭圆的定义证出OP的长恰好等于椭圆的长半轴a，得动点P的轨迹方程为x2+y2=a2，由此可得本题答案．
【解析】
如图所示
延长F1P，与F2M的延长线交于B点，连接PO，
∵MP是∠F1MB的平分线，且PM⊥BF1
∴△F1MB中，|MF1|=|BM|且P为BF1的中点
由三角形中位线定理，得|OP|=|BF2|=（|BM|+|MF2|）
∵由椭圆的定义，得|MF1|+|MF2|=2a，（2a是椭圆的长轴）
可得|BM|+|MF2|=2a，
∴|OP|=（|MF1|+|MF2|）=a，可得动点P的轨迹方程为x2+y2=a2
为以原点为圆心半径为a的圆
故选：A