Question

在平面直角坐标系xOy中，点P到两点，的距离之和等于4，设点P的轨迹为C．
（1）写出C的方程；
（2）设直线y=kx+1与C交于A、B两点，k为何值时？

Answer

（1）由题意可知P点的轨迹为椭圆，并且得到，求出b后可得椭圆的标准方程；
（2）把直线方程和椭圆方程联立，化为关于x的一元二次方程后得到判别式大于0，然后利用根与系数关系得到直线和椭圆两个交点的横坐标的和与积，写出两个向量垂直的坐标表示，最后代入根与系数的关系后可求得k的值．
【解析】
（1）由条件知：P点的轨迹为焦点在y轴上的椭圆，
其中，所以b2=a2-c2==1．
故轨迹C的方程为：；
（2）设A（x1，y1），B（x2，y2）
由⇒（kx+1）2+4x2=4，即（k2+4）x2+2kx-3=0
由△=16k2+48＞0，可得：，
再由，
即（k2+1）x1x2+k（x1+x2）+1=0，
所以，．