Question

若一动点P到两定点的距离之和为4．
（ I）求动点P的轨迹方程；
（ II）设动点P的轨迹为曲线C，在曲线C任取一点Q，过点Q作x轴的垂线段QD，D为垂足，当Q在曲线C上运动时，求线段QD的中点M的轨迹方程．

Answer

（1）由椭圆的定义，可得点P的轨迹是以A、B为焦点的椭圆，根据椭圆标准方程采用待定系数法即可得到动点P的轨迹方程；
（2）设Q（x′，y′），QD中点为M（x，y），根据题意得x′=x，y′=2y，将点Q坐标代入P的轨迹方程化简整理，即可得到线段QD的中点M的轨迹方程．
【解析】
（1）∵动点P到两定点的距离之和为4．
∴点P的轨迹是以A、B为焦点的椭圆，2a=4得a=2，c=
因此b2=a2-c2=1，可得动点P的轨迹方程为x2+=1；
（2）设Q（x′，y′），QD中点为M（x，y），
依题意x=x′，y=y′，∴x′=x，y′=2y
∵点Q在x2+=1上，
∴（x'）2+=1，即x2+y2=1
因此，线段QD的中点轨迹方程为x2+y2=1．