Question

如图，已知四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是直角梯形，AB∥DC，∠ABC=45°，DC=1，AB=2，PA⊥平面ABCD，PA=1．
（Ⅰ）求证：AB∥平面PCD；
（Ⅱ）求证：BC⊥平面PAC；
（Ⅲ）若M是PC的中点，求三棱锥M-ACD的体积．

Answer

（I）由已知中AB∥DC，结合线面平行的判定定理，可得AB∥平面PCD；
（Ⅱ）在直角梯形ABCD中，过C作CE⊥AB于点E，由已知中DC=1，AB=2，我们根据勾股定理可得BC⊥AC，由PA⊥平面ABCD可得PA⊥BC，结合线面垂直的判定定理即可得到BC⊥平面PAC；
（Ⅲ）若M是PC的中点，则M到面ADC的距离是P到面ADC距离，即PA的一半，根据其它已知条件计算出棱锥的底面积和高，代入棱锥体积公式，即可得到答案．
证明：（Ⅰ）∵AB∥CD
又∵AB⊄平面PCDCD⊂平面PCD
∴AB∥平面PCD
（Ⅱ）在直角梯形ABCD中，过C作CE⊥AB于点E，则四边形ADCE为矩形，
∴AE=DC=1
又AB=2，∴BE=1
在Rt△BEC中，∠ABC=45°
∴CE=BE=1，CB=
∴AD=CE=1
则AC==，AC2+BC2=AB2
∴BC⊥AC
又PA⊥平面ABCD，
∴PA⊥BC．又由PA∩AC=A
∴BC⊥平面PAC
（Ⅲ）∵M是PC中点，
∴M到面ADC的距离是P到面ADC距离的一半
∴．