Question

已知P（x，y）是圆C：x²+（y-4）²=1外一点，过P作圆C的切线，切点为A、B，记：四边形PACB的面积为f（P）
（1）当P点坐标为（1，1）时，求f（P）的值；
（2）当P（x，y）在直线3x+4y-6=0上运动时，求f（P）最小值；
（3）当P（x，y）在圆（x+4）²+（y-1）²=4上运动时，指出f（P）的取值范围（可以直接写出你的结果，不必详细说理）；
（4）当P（x，y）在椭圆+y²=1上运动时f（P）=5是否能成立？若能求出P点坐标，若不能，说明理由．

Answer

通过△PAC，△PBC是两个全等直角三角形求出f（P）的表达式，
（1）当P点坐标为（1，1）时，求出|PC|，即可求f（P）的值；
（2）当P（x，y）在直线3x+4y-6=0上运动时，利用点到直线的距离公式求出距离最小值，即可求f（P）最小值；
（3）当P（x，y）在圆（x+4）2+（y-1）2=4上运动时，求出|CD|，|PC|的范围，即可指出f（P）的取值范围；
（4）利用f（P）=5求出pc，通过联立方程组利用判别式判断P复数存在．
【解析】
因为△PAC，△PBC是两个全等直角三角形，
∴f（P）=2S△PAC=|PA|•|AC|=|PA|=              …（3分）
（1）∵P（1，1），C（0，4），∴|PC|=，∴f（P）=3             …（5分）
（2）P（x，y）在直线3x+4y-6=0上运动时，|PC|的最小值为点C到直线3x+4y-6=0的距离d，d=2，
∴f（P）的最小值为                      …（8分）
（3）P（x，y）在圆D：（x+4）2+（y-1）2=4上运动时，|CD|=5，
|PC|∈[3，7]，f（P）∈[2，4]…（11分）
（4）f（p）=5⇔|PC|2=26⇔x2+（y-4）2=26，代入得：
3y2+8y+6=0，△=-8＜0，故满足条件的P点不存在．      …（14分）