Question

对a、b∈R，记，函数f（x）=max{|x+1|，|x-2|}（x∈R）．
（1）作出f（x）的图象，并写出f（x）的解析式；
（2）若函数h（x）=x²-λf（x）在（-∞，-1]上是单调函数，求λ的取值范围．
（3）当x∈[1，+∞）时，函数h（x）=x²-λf（x）的最小值为2，求λ的值．

Answer

（1）根据|x+1|和|x-2|的大小关系，结合新定义画函数的图象，写出函数f（x）的解析式故f（x）=
（2）h（x）=x2-λf（x）=若在（-∞，-1]上是单调函数，则要求第二段在（-∞，-1]上是单调函数．
（3）当x∈[1，+∞）时，h（x）=x2-λ（x+1），利用二次函数图象与性质求其最小值，得出关于λ的方程求解．注意分类讨论．
【解析】
【解析】
由|x+1|≥|x-2|⇒（x+1）2≥（x-2）2⇒x≥，故f（x）==
其图象如右，其图象如右，
（2）h（x）=x2-λf（x）=
若在（-∞，-1]上是单调函数，则要求第二段在（-∞，-1]上是单调函数，对称轴x=-≥-1，解得λ≤2
（3）当x∈[1，+∞）时，h（x）=x2-λ（x+1）
对称轴x=，
当≤1，即λ≤2时，h（x）在[1，+∞）上单调递增，最小值为h（1）=1-2λ=2，得λ=-
当＞1，即λ＞2时，最小值为h（）==2，此时无解
综上所述，λ=-