Question

如图，在正比例函数y=kx（k＞0）图象上有一列点P₁，P₂，P₃，P₄，…，P_n，…．已知n≥2时，．设线段P₁P₂，P₂P₃，P₃P₄，…，P_nP_n+1的长分别为a₁，a₂，a₃，…，a_n，且a₁=1．
（1）求出a₂，a₃的值；
（2）求数列{a_n}的通项公式；
（3）设点M_n（n，a_n）（n≥2，n∈N），证明：这些点中不可能同时有两个点在正比例函数y=kx（k＞0）的图象上．

Answer

（1）由题设条件结合向量和的运算，知，从而得出数列{an}的递推关系式，即可得出a2，a3的值；
（2）将（1）中的a1=（2-1）a2，a2=（3-1）a3，a3=（4-1）a4．…，an=nan+1等关系式相乘即可得数列{an}的通项公式；
（3）对于结论是否定形式的命题，往往反证法证明．
【解析】
（1）由得，
∴∴，
即a1=（2-1）a2，a2=（3-1）a3，a3=（4-1）a4．…，an=nan+1
∴a2=1，a3=
（2）将（1）中的a1=（2-1）a2，a2=（3-1）a3，a3=（4-1）a4．…，
an=nan+1等关系式相乘得a1=1•2•3•4•…•n•an+1，
即∴
（3）设点Mm（m，am），Nn（n，an）（m≠n）在正比例函数y=kx（k＞0），
则am=km，an=kn，即，
∴，，从而1•2•3•…•m=1•2•3•…•n
这与m≠n矛盾，故不可能同时有两个点在正比例函数y=kx（k＞0）的图象上．