Question

已知函数，
（1）证明函数f（x）的奇偶性；
（2）利用函数单调性的定义证明：f（x）是其定义域上的增函数．

Answer

（1）已知函数，根据奇函数和偶函数的性质，判断f（-x）与f（x）的关系，从而进行判断；
（2）从R上任取x1、x2，设x1＜x2，则△x=x2-x1，再判断f（x1）-f（x2）与0的关系，用定义法进行证明；
【解析】
（1）∵2x+1≠0，
∴f（x）的定义域为R，关于原点对称．       …（2分）
又∵
∴f（x）为奇函数
（2）∵
从R上任取x1、x2，设x1＜x2，
则△x=x2-x1…．（6分）
则==…（10分）
∵，
∴，又，
∴f（x1）-f（x2）＜0，
∴f（x1）＜f（x2）…（11分）
∴f（x）在其定义域R上是增函数                                    …（12分）