Question

已知双曲线方程为，椭圆C以该双曲线的焦点为顶点，顶点为焦点．
（1）当，b=1时，求椭圆C的方程；
（2）在（1）的条件下，直线l：与y轴交于点P，与椭圆交与A，B两点，若O为坐标原点，△AOP与△BOP面积之比为2：1，求直线l的方程；
（3）若a=1，椭圆C与直线l'：y=x+5有公共点，求该椭圆的长轴长的最小值．

Answer

（1）根据椭圆C以该双曲线的焦点为顶点，顶点为焦点，设椭圆方程，将代入，可得椭圆C的方程；
（2）根据题意，设点A，B的坐标分别为（x1，y1），（x2，y2），联立椭圆和直线的方程，利用韦达定理及x1=-2x2，即可求直线l的方程；
（3）联立椭圆和直线的方程，利用判别式大于等于0，即可求得结论．
【解析】
（1）设双曲线的焦点为（±c，0）（c＞0），则椭圆C的方程为，其中c2=a2+b2
将代入，可得椭圆C的方程为；
（2）根据题意，设点A，B的坐标分别为（x1，y1），（x2，y2），则|x1|：|x2|=2：1，可知．
联立椭圆和直线的方程，得，消元得，可知，，即x1与x2异号，所以x1=-2x2．
代入上式，得，消元，得．
所以直线方程为
（3）联立椭圆和直线的方程，得方程组，其中c2=b2+1
消去y，可得（+）x2++-1=0
∴△=，
解得b2≥12，所以c2≥13，当且仅当时长轴长最短，是．